Laboratorio de órbitas · Etapa 2 — La elipse de Kepler
De círculos a elipses. Kepler descubrió que las órbitas no son círculos sino elipses con el Sol en uno de los focos, y que el planeta va más rápido cerca del Sol. Con sus leyes y la ecuación que lleva su nombre, el modelo pasa de aproximado a casi exacto.
Fundamentos teóricos
Primera ley (elipses). Cada planeta describe una elipse con el Sol en un foco. La elipse se describe con el semieje mayor a (tamaño) y la excentricidad e (cuánto se aparta de un círculo; e = 0 es un círculo). La distancia al Sol varía entre el perihelio a(1−e) y el afelio a(1+e).
Segunda ley (áreas iguales). La línea Sol–planeta barre áreas iguales en tiempos iguales: el planeta acelera en el perihelio y frena en el afelio. Esto significa que el ángulo no crece de forma uniforme (como en la etapa 1); lo que crece uniforme es la anomalía media M.
La ecuación de Kepler. Para pasar del tiempo (la anomalía media M) a la posición real en la elipse (la anomalía excéntrica E) hay que resolver una ecuación que no tiene solución directa:
M = E − e·sen E
Se resuelve numéricamente (método de Newton, unas pocas iteraciones). Con E ya tenemos la posición en el plano de la órbita y la distancia al Sol:
r = a(1 − e·cos E)
Velocidad (vis-viva). La rapidez en cada punto depende solo de la distancia al Sol:
v² = G·M·(2/r − 1/a)
Máxima en el perihelio, mínima en el afelio — la segunda ley, en fórmula.
Cómo se implementa en SusoLabs - Cosmos
Para el planeta y el instante elegidos:
- Tomamos los elementos en J2000 (semieje
a, excentricidade, inclinaciónI, y la orientación de la elipse: nodoΩy perihelioϖ). En esta etapa se mantienen congelados. - Anomalía media
M = L − ϖ, conL = L₀ + L̇·T. - Resolvemos
M = E − e·sen Epor Newton. - Posición en el plano orbital
(a(cos E − e), a√(1−e²)·sen E), que rotamos porϖ,IyΩpara llevarla a coordenadas eclípticas en 3D (ahora sí tenemos en cuenta la inclinación). - Distancia
ry velocidad por vis-viva.
Nota importante a tener en cuenta. Una sola elipse fija describe el problema de dos cuerpos (Sol + planeta) de forma esencialmente exacta. Pero en el Sistema Solar real los planetas también se atraen entre sí, y eso hace que la elipse cambie muy despacio con los siglos. Eso es lo que añade la etapa 3.
Qué vemos en SusoLabs - Cosmos
- La órbita del modelo es ahora una elipse con el Sol descentrado, que pasa por los puntos reales de Horizons. Para Mercurio el cambio es espectacular respecto al círculo de la etapa 1.
- El residuo cae de decenas de millones de km a una fracción muy pequeña: en escalas de años a décadas, la elipse de Kepler clava la posición real.
- Fíjate en el panel de salidas: la velocidad cambia con la distancia (vis-viva). En un planeta excéntrico, compara el periheliio y el afelio moviendo la fecha de inicio.
- Si amplías la duración a un siglo o más, verás que el residuo deja de ser plano y empieza a crecer lentamente: la elipse congelada se queda atrás. Ese resto es lo que arregla la etapa 3.